このまま住宅ローンの滞納が続けば強制的に退去させられます。
なぜなら、住宅ローンを滞納した状況が続けば、いずれ金融機関から競売を申し立てられます。競売が実行されると、裁判所の権限で退去命令がでるからです。

競売を申し立てられると、退去を迫られるのは時間の問題です。銀行から督促状が来ているのであれば、早ければ3ヶ月以内に競売の申立て、1年以内には競売が実行され、退去しなければならない状況になるでしょう。

競売を避けるために、まずは住宅ローンを借りている銀行へ連絡して状況を確認しましょう。督促状に連絡先が記載されていますので、そちらへ連絡してください。

個人情報の関係で詳しくは教えてもらえない場合もありますが、元奥様は連帯保証人であり、利害関係者ですので、ある程度のことは開示してくれるでしょう。
理由を説明して、とりあえず相談者である奥様が、滞納している住宅ローンを支払うことにより、滞納を解消して、競売の進行を止めることができます。銀行も競売を望んでいません。滞りなく回収できることを望んでいるのです。

競売の申立てをされてしまえば、銀行から一括返済を求められます。住宅ローンですから、一括で返済するのは困難でしょう。そうなれば、競売になってしまいます。

一括返済を求められるまでの間（通常は3ヶ月～6ヶ月の滞納）に、滞納分を支払い、時間を稼ぐことをお勧めします。

もし、「もう分割での返済は受け付けない」と言われてしまうと、競売か任意売却の選択しかありません。

住み続けたいご希望のようなので、任意売却でリースバックを活用しましょう。
競売の前に、ご自宅を一旦、投資家の方に売却して、その方に賃料を支払って住み続けるのです。
こうすることで、競売回避はもちろん引越しをすることなく、売却をしたことも周囲に知られず住み続けることができます。

相談者の質問からは、お子様がいるかどうか不明でしたが、お子様がいるご家庭のご要望は、圧倒的に住み続けたいというものです。

私ども全日本任意売却支援協会には、任意売却を活用したリースバックに協力してくれる投資家の方の登録が、法人と個人の方を合わせれば３００ほどあります。
住宅ローンを借りている銀行に掛け合って状況を確認して、もし滞納した状況が進んでいるのであれば、ご相談下さい。

競売になってしまうと、住み続けることは不可能と思われますし、近隣の方にも競売になったことが知れ渡る可能性があります。
また、仮に住み続けられなくても、任意売却なら次の生活資金の一部として銀行が引越しの資金を捻出してくれます。

いずれにしても、最悪の競売だけは避けられることをお勧めします。