結論から申し上げますと、任意売却をするためには、連帯保証人である元奥様の協力が必要です。

また、連帯保証人には住宅ローンの残債務についても少なからず
影響が出てきますので、きちんと説明をする必要があります。

なぜ、元奥様が退去しないのでしょうか？

次の引越し先が見つからない、もしくは引越しする費用がないという理由なら、それほど大きな問題はないでしょう。
お金で解決することは、それほど問題が長期化することはありません。

離婚が絡む住宅ローンの問題では、お金ではなく、感情的な問題により、任意売却がうまくいかないこともあります。

例えば、「嫌がらせで出て行かない」となると、問題は複雑になります。
勘定の問題はお金で解決しますが、感情の問題は、長い年月をかけて積み重ねられたもので、当事者間にしかわからないことが多くあります。
ただ、そのような場合でも、第三者（例えば私たち）が介入することで、お互い冷静に話ができたりすることもあります。

また、極端な例では、離婚に詳しい弁護士が間に入って、代理人として任意売却を進めたこともありました。
住宅ローンの名義人を元奥様に変更する、元奥様の身内の方に住宅ローンを組んでもらうという方法もあります。もちろん住宅ローンを組んでいる銀行の承諾が必要となってくるので、簡単ではありませんが、トライする余地はあるでしょう。

また、元奥様がその不動産を手放したくないと思っていることもあるでしょう。
近隣の目を気にして、任意売却をためらっているかもしれません。

住宅ローンの名義人、連帯保証人、どちらにとっても最善の方法をとっていきましょう。

ちなみに、全日本任意売却支援協会に寄せられる相談でも離婚に関する相談が年々増えています。
特に、元奥様とお子さんが自宅に住み続けているケースは、非常に多いです。

～別れた妻と子どもが住み続けている～
①養育費がわりに住宅ローンは夫が払い続けている
②住宅ローンは別れた妻が支払っている

①の場合、夫側はダブルで支払う住居費が大きな負担になることが
予想されます。収入状況や再婚などの生活状況の変化によっては
住宅ローンの支払いを継続するのが困難になることもあります。
②の場合、夫側は支払いの負担はありませんが、万が一、元奥様が
支払いを滞納した場合などは、住宅ローンの名義人である夫側に請求が
来る等の影響が出てきます。

いずれにしても、住宅ローンを残したまま離婚する場合には、住宅ローンを完済するまでは、まったくの無関係でいることは困難です。
また、住宅ローンは金額の大きな債務です。万が一の場合には双方に
大きな影響が及びます。
その点を留意しながら返済計画を立てる必要があるでしょう。