お兄様のこと、ご家族も心配な状況ですね。
まず、状況を整理します。

住宅ローンの残額　　960万円
管理費などの滞納　　 50万円
売却した場合の価格　920万円程度

その他、固定資産税の滞納などはないでしょうか？
現時点でも、90万円ほどのマイナスがありますので、通常の売却をする場合は90万円の持ち出し費用が発生します。加えて、売却時の諸費用として45万円ほど必要になります。

上記の方法が厳しい場合、選択肢として競売か任意売却があります。任意売却は競売に比べるとメリットが多い方法です。例えば、

１．競売と比べて高い金額で売却でき、残債務（住宅ローンの残り）を減らせる（残債務の返済方法も金融機関と相談できる）
２．管理費などの滞納分を清算できる
３．税金の滞納分を清算できる
４．引っ越し費用をねん出できる

などです。
これで滞納していた管理費などは綺麗に支払い終えますね。

一方、競売のメリットとしては、「何もしなくても勝手に処分してくれる」という点くらいでしょうか。また、次のようなケースでは被害が少なくて済みます。

・税金の滞納がない
・引っ越し費用は不要
・なるべく手間をかけたくない
・残債務の返済も問題ない（自己破産をする）
・連帯保証人がいない

このようなケースでは、競売を選択されても悪くはないですが、よりメリットの多い任意売却をおすすめします。

現在のお兄様の状況やマンションの状況によっても選択すべき方法は異なりますが、ほとんどの場合、任意売却をすることで問題を清算したうえ再スタートできると言えるでしょう。