ご質問ありがとうございます。

月々の支払いが苦しくなり、住宅ローンを優先的に返済しているというお話をよく伺います。
しかし税金の滞納が続くと、延滞税も加算されて更に金額が大きくなります。そうなると、役所も不動産の差し押さえを行います。また、役所によって最近は給与や銀行口座の差押さえ（凍結）なども行っているようです。どこも税収難から回収には力を注いでいるようです。
いずれにしても、何かしらの対応が必要ですし、金額が大きくなると役所（市区町村）とのお話合いや調整もとりにくくなりますので、早々にご相談ください。

さて、「固定資産税の滞納があっても任意売却はできるのか？」というご質問ですが、滞納されている金額と、その役所によって対応が大きく異なるのが現実です。
また、今回は滞納額が不明なため明言は避けますが、滞納が数十万円の場合は、任意売却の際に、（債権者の応諾の元）売却代金から優先的に返済する、もしくは場合によっては、買主に負担してもらうなどの方法を取って任意売却を完了させます。
もし、滞納額は数百万円になっていると大変です。金額が大きいので、債権者が認めないばかりか、買主が負担することも困難でしょう。ただ、そのような場合でも役所との交渉で可能になることがあります。
任意売却の際にある程度の金額を返済して、残った税金を分納する約束をするのです。これで、役所も任意売却に応じてくれることがこれまでも多々ありました。

なぜなら、役所は競売になってしまうと、（大抵の場合）全く回収ができないからです。また、回収が義務とは言いつつも、やはり市民のための行政（役所）ですから、任意売却に協力してくれることもあります。
ただ、冒頭に申しましたように、役所によって、また滞納金額によって、その対応は異なりますので、そのあたりはご留意下さい。
私ども全日本任意売却支援協会では、これまでも固資産税の滞納があっても任意売却を成立させた実績が多く有りますので、詳細を含めてご相談下さい。

・お兄さんへの売却
次にお兄さんへの売却の件です。お兄さんに売却する意図はなんでしょうか？名義を変えるだけ？お兄さんが住むから？など理由により異なりますので、こちらも明言は避けて一般論の話しをさせてください。
お兄さんが現金で買うというのであれば、銀行や役所に返済をすればいいので、なんら問題なく売却ができるでしょう。しかし、住宅ローンなどを活用するのであれば、少し問題が出てくる可能性が高いでしょう。

実は、銀行では住宅ローンが残っている不動産の身内間での売買は認めないのです。なぜなら、“借金を肩代わりした”と思われるからです。これを専門用語では“債務の置き換え”と言います。
もちろん、お兄さんに莫大な財産があるとか、かなりの高収入であるなどの場合は、別途相談になると思われますが、大抵の銀行は後ろ向きな回答が多いでしょう。

ただ、最近はどこの金融機関も住宅ローンの貸し出しに積極的です。よって、一部の銀行やノンバンク（お金を預からない金融機関）などでは親族間売買の住宅ローンを受け付けてくれるようになりました。

当、全日本任意売却支援協会でも多くの解決実績がありますので、お問合せ下さい。

税金が膨らめば膨らむほど、任意売却が難しくなります。
今回のご相談者の場合、税金の滞納と親族間売買のふたつの問題があり、少し困難ですが、だからこそ、早めに対応されることをお勧めします。