ご質問ありがとうございます。

大変な状況ですね。ご主人さんが行方不明という相談は年に数回あります。

これまでの経験を元にご説明すると、残念ながら任意売却は困難です。任意売却をするのには、所有者の意思が必要です。また、金融機関と話し合いを進めるには債務者(住宅ローンの借主)から依頼(媒介契約)が必要だからです。いくら奥様だとしても、所有者でもなければ債務者でもありませんから、ご事情は理解できますが、任意売却は不可能と言っても過言ではありません。

残された方法はただひとつです。ご主人さんを探すしかありません。
探す方法は大きく分けると2つになります。

1 警察にお願いする。

捜索願を出すのです。これまでこれで行方不明者が見つかったことがあり任意売却が成功した事例もあります。ただし、事件、事故などに巻き込まれた可能性がないと、受け付けてくれない警察もあるようです。ある人が、警察にお願いに言ったところ、「うちは探偵ではない」と断れたそうです。

2探偵のお願いする

探偵はこのようなことを仕事にしていますから、応諾はしてくれるでしょう。ただ、費用がかなりかかります。最低でも数10万から100万円は掛かるようです。そこまでして見つかればいいですが、もし見つからなくても、同額の費用は請求されるようです。住宅ローンの支払いが出来ない状態で、数10万円単位の支払いは大きいですから、悩ましいところですね。

少々の無理難題はこちらの努力で何とかできますが、所有者が不明の場合の任意売却は困難を極めるのでお手伝いできないことがありますのでご了承下さい。